In questa pagina scoprirai come calcolare il campo elettrico e la capacità nel condensatore piano e sferico. Troverai le formule e una semplice spiegazione su come ottenerle a partire dall’applicazione delle legge di Gauss.

Nell’articolo Costante dielettrica nel vuoto e assoluta, abbiamo già avuto modo di accennare all’importanza di scegliere opportunamente il materiale dielettrico allo scopo di ridurre l’ingombro dei condensatori. In questo articolo vediamo da vicino come ottenere le formule per il calcolo del campo elettrico e della capacità nei condensatori piani e sferici.

Indice:

Definizione di campo elettrico e induzione elettrica

Ricordiamo che dato un campo elettrico E, si definisce induzione elettrica la quantità:

D = ε * E

dove ε rappresenta la costante dielettrica assoluta del materiale.

Il campo d’induzione elettrica, a differenza del campo elettrico, dipende perciò dal materiale che si sta considerando. La legge di Gauss può essere scritta indifferentemente utilizzando il campo elettrico oppure l’induzione elettrica:

legge di gauss

Struttura di un condensatore

Un condensatore è un qualunque sistema costituito da due conduttori affacciati tra i quali è posto un materiale isolante. I due conduttori prendono il nome di armature, mentre il materiale isolante viene comunemente chiamato dielettrico. Quest’ultimo ha due principali funzioni:

  1. Evitare che si verifichino scariche tra i due conduttori a seguito dell’applicazione di una differenza di potenziale (d.d.p.) tra le armature;
  2. Aumentare, a parità di dimensioni, la capacità del condensatore.

La seguente figura riassume la struttura di un generico condensatore piano:

struttura condensatore

Carica e definizione di capacità elettrica

Vediamo adesso di capire cosa s’intende per capacità. Consideriamo a tal proposito la seguente figura:

carica e capacità elettrica nel condensatore

L’interruttore rappresentato in figura può essere configurato in due diverse posizioni:

  • Posizione 1: Il generatore in questo caso fornisce una differenza di potenziale (d.d.p.) al sistema costituito dalla serie tra un condensatore C ed un resistenza R.
  • Posizione 2: Il generatore è escluso e, dopo una eventuale fase transitoria, nel circuito non fluirà alcuna corrente.

Nel momento in cui l’interruttore è configurato nella posizione 1, nel circuito inizia a fluire corrente come risultato di un trasferimento di carica. Ovviamente, se il sistema è inizialmente neutro (carica netta nulla), dovrà continuare ad esserlo. Questo significa che si ha un semplice trasferimento di carica da un’armatura all’altra e non, come si potrebbe erroneamente pensare, una generazione di carica.

La funzione del generatore è proprio quella di fornire il lavoro necessario affinché questo processo possa avvenire. Ad un certo punto verrà raggiunta una condizione di equilibrio ed il processo di trasferimento di carica da un’armatura all’altra si arresta.

Per carica accumulata da un condensatore s’intende il valore assoluto della carica su una delle due armature a regime. Tale carica dipende dalla differenza di potenziale (d.d.p.) applicata secondo una relazione lineare. Si definisce capacità proprio il coefficiente che lega la d.d.p. alla carica:

C = q / V

La legge di Gauss e la definizione di d.d.p. consentono di determinare le formule per il calcolo della capacità dei condensatori comunemente usati. Verrà fuori che la capacità dipende esclusivamente dalle caratteristiche geometriche del condensatore e dal tipo di materiale usato come dielettrico.

Campo elettrico e capacità nel Condensatore Piano

Consideriamo il condensatore ad armature piane, poste ad una distanza  l  l’una dall’altra, illustrato nella seguente figura:

campo elettrico condensatore piano

Campo elettrico condensatore piano

Scegliendo come superficie gaussiana un parallelepipedo contenente una delle armature, la legge di Gauss diventa:

campo elettrico condensatore piano

dove S non è altro che la superficie dell’armatura.

Capacità condensatore piano

Ricordando la definizione di d.d.p. e integrando lungo una linea di campo si ha:

differenza di potenziale condensatore piano

Sostituendo questo risultato nella definizione di capacità elettrica (C=q/V), si ottiene la formula per il calcolo della capacità nel condensatore piano:

formula capacità condensatore piano

Come anticipato, tale risultato suggerisce che la capacità dipende esclusivamente dalla costante dielettrica assoluta del materiale isolante, dalla superfice S dell’armatura e dalla distanza l tra le armature.

Campo elettrico e capacità nel Condensatore Sferico

E’ possibile seguire lo stesso procedimento per determinare la capacità del condensatore ad armature sferiche la cui sezione è illustrata nella seguente figura:

campo elettrico condensatore sferico

Questa volta è conveniente scegliere come superficie gaussiana una superficie concentrica alle armature. Tale scelta è vantaggiosa in quanto ci permette di affermare che il campo elettrico lungo la superficie è costante ed inoltre ortogonale alla superficie stessa.

Campo elettrico condensatore sferico

Dalla legge di Gauss si ottiene:

formula campo elettrico condensatore sferico

Capacità condensatore sferico

Calcoliamo la d.d.p. integrando lungo una linea di campo, ovvero lungo un raggio:

differenza di potenziale condensatore sferico

Sostituendo questo risultato nella definizione di capacità elettrica (C=q/V), si ottiene la formula per il calcolo della capacità nel condensatore sferico:

formula capacità condensatore sferico

In questo caso la capacità dipende, oltre che dalla costante dielettrica assoluta del materiale isolante, dai raggi r1 e r2 delle due armature sferiche.

Altre risorse:
Studio dei circuiti: Legge di Ohm generalizzata e leggi di Kirchhoff
Induttanza o coefficiente autoinduttivo
– Legge di Gauss su wikipedia


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