In questo articolo parleremo delle leggi fondamentali e dei concetti di base che permettono di studiare i circuiti elettrici. Dopo aver discusso, nell’articolo Tensione, corrente e resistenza elettrica: una spiegazione semplice e intuitiva, la legge di Ohm nella sua forma semplificata, vedremo adesso la cosiddetta legge di Ohm generalizzata. Verranno inoltre introdotte la prima e la seconda legge di Kirchhoff.

Indice:

Legge di Ohm generalizzata

Dati i generatori ideali mostrati nella figura successiva, vogliamo trovare la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i morsetti A e B nei due casi. In questa figura E identifica la forza elettromotrice del generatore (f.e.m.).

Per il caso di sinistra, si ha: VAB – E = 0.
Per il secondo caso di destra si ha invece: VAB + E = 0.

Ne segue una prima regola fondamentale: se il verso di percorrenza è concorde con il verso della f.e.m. bisogna prendere la E con segno positivo, viceversa, con segno negativo se discorde.

Supponiamo adesso che in serie al generatore di tensione vi sia una resistenza. Anche se in questo contesto non ha importanza, supponiamo che si tratti della resistenza interna del generato, e quindi che quest’ultimo sia reale.

Consideriamo inoltre che a tale generatore sia connessa una scatola “nera”, che potrebbe essere qualunque cosa, da una semplice resistenza a un circuito molto complesso in cui sono presenti più resistenze e generatori. Per quanto detto, si potrebbe verificare una delle due possibilità schematizzate nella seguente figura:

Si noti che, mentre nel caso di sinistra la corrente è entrante, nel secondo caso la corrente è uscente dalla scatola. Questo significa che vi una f.e.m. più elevata di E che si oppone. Per questa ragione tale f.e.m prende il nome di forza contro elettromotrice (f.c.e.m.).

Ricordando la legge di Ohm nella sua forma semplificata e la conclusione di prima, per il circuito di sinistra è possibile scrivere l’equazione la seguente equazione VAB – E = -RI. Analogamente, per il circuito di destra vale la seguente equazione VAB – E = RI.

E’ quindi possibile giungere alla seguente equazione di validità generale:

VAB – E = RI

Questa rappresenta la legge di Ohm generalizzata. Per quanto detto:

  • Il segno più al primo membro va usato se la f.e.m. ha verso concorde a quello di percorrenza;
  • Il segno più al secondo membro va usato se la corrente è concorde al verso di percorrenza.

Alcune definizioni

Prima di discutere in dettaglio le leggi di Kirchhoff, è necessario dare alcune definizione.

  • Nodo: è un punto in cui convergono tre o più rami;
  • Ramo: è il tratto di circuito che unisce due nodi;
  • Maglia: è un qualsiasi percorso chiuso costituito da lati del circuito
  • f.e.m. interna: Una forza elettromotrice si dice interna ad una maglia se nasce a causa di qualche fenomeno interno alla maglia stessa.
  • Grafo: schematizzazione del circuito ottenuta sostituendo ogni elemento con una linea alle cui estremità vengono disegnati due nodi.

La figura riportata di seguito mostra un esempio della schematizzazione sotto forma di grafo di un generico circuito:

Prima legge di Kirchhoff

La prima legge di Kirchhoff, nota anche come legge ai nodi, afferma che:

Dato un circuito elettrico a parametri concentrati, nell’ipotesi che in un nodo non vi sia né accumulo né generazione di cariche, la somma algebrica delle correnti entranti (o uscenti) nel nodo è nulla.

Il segno alle correnti viene attribuito in base alla convenzione scelta. In altre parole, è possibile attribuire indifferentemente segno positivo alle correnti entranti o alle correnti uscenti. L’importante è che una volta scelta la convenzione la si applichi a tutte le correnti ed i nodi del circuito.

Supponiamo per esempio di avere uno nodo sul quale convergono tre rami, due correnti entranti ed una uscente, come nella figura riportata di seguito:

In questo caso la prima legge di Kicrchhoff può essere scritta in uno dei due modi seguenti:

1) I1 + I2 – I3 = 0 (correnti entranti positive)
2) -I1 – I2 + T3 = 0 (correnti uscenti positive)

Appare evidente che da un punto di vista matematico le due forme sono del tutto equivalenti.

Seconda legge di Kirchhoff

La seconda legge di Kirchhoff, nota anche come legge alle maglie, afferma che:

In un circuito a parametri concentrati la somma delle f.e.m. interne o esterne ad una maglia è uguale alla somma delle cadute di tensione nella maglia stessa.

Vediamo di capire meglio quanto detto con un esempio. Si consideri il circuito mostrato nella seguente figura:

E’ possibile notare in tale circuito non vi sono nodi, e di conseguenza neanche rami. Tale circuito è infatti una semplice una maglia.

Il primo passo da fare consiste nello stabilire un verso di percorrenza, in modo tale da poter stabilire qual è il segno delle f.e.m. e delle cadute di tensione con le convenzioni stabilite quando abbiamo parlato della legge di Ohm generalizzata.

Detto questo è possibile scrivere l’equazione alla maglia in due modi:

1) E1 + E2 = R1I + R2I + R3I
2) –E1 – E2 = -R1I – R2I – R3I

L’equazione 1 sarebbe valida nel caso in cui si scegliesse come verso di percorrenza della maglia quello orario. La 2 invece se si scegliesse un verso di percorrenza antiorario. Ovviamente anche in questo caso dal punto di vista matematico le due equazioni sono del tutto equivalenti.

In generale, risolvere un circuito significa trovare le correnti partendo dai valori delle f.e.m. e delle resistenze. Pertanto, se nel circuito sono presenti R rami:

  • Le correnti incognite sono R;
  • Per trovare le R correnti è necessario impostare un sistema di R equazione;
  • E’ necessaria la condizione che le equazioni siano indipendenti.

Per far ciò si usano le due leggi di Kirchhoff. L’unico problema sta nel fatto che se in un circuito sono presenti N nodi non è possibile scrivere N equazioni ai nodi, in quanto una di esse sarà combinazione lineare delle altre.

La prima legge di kirchhoff consente quindi di scrivere soltanto N-1 equazioni. Le rimanenti R-(N-1) equazioni si possono ottenere dalla legge alle maglie.

Serve prestare attenzione alla scelta delle maglie per le quali applicare la seconda legge di Kirchhoff. Infatti non è possibile scegliere R-(N-1) maglie qualsiasi, ne tantomeno è sempre possibile intuire con facilità quali sono quelle indipendenti.

Per risolvere questo problema è possibile ricorrere alla cosiddetta regola del taglio. Vediamo quindi in cosa consiste facendo riferimento alla seguente figura:

La procedura da applicare è la seguente:

  • Scegliere una maglia qualsiasi, per esempio la maglia ABEA della (grafo 1 in figura) e scrivere la relativa equazione alla maglia;
  • Tagliare un ramo qualsiasi appartenente alla maglia stessa, per esempio il ramo AB ottenendo del grafo 2 di figura;
  • Ripetere il procedimento per esempio sulla maglia BCEB, tagliare per esempio il ramo BC ottenendo in questo modo il grafo 3;
  • Ripetere ancora una volta il procedimento esempio per la maglia ECDE, ottenendo così il grafo 4.

Alla fine quindi sono state scritte quattro equazioni indipendenti. Essendo il numero di rami del circuito di partenza otto (R = 8), il numero di nodi cinque (N = 5), con legge alle maglie è necessario scrivere quattro equazioni indipendenti (R-N+1), che sono proprio quelle che sono state ottenute applicando la regola del taglio.

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